Anàlisi de la taula 2/n del papir Rhind     

A continuació es mostren els resultats obtinguts de la recerca realitzada sobre els valors presents a la taula 2/n del recte del papir Rhind. Es tracta d’una llista de descomposicions en fraccions unitàries de les fraccions de numerador 2 i denominadors senars entre 3 i 101. A les diverses taules es presenten els desenvolupaments segons l’algoritme voraç i amb 2, 3 i 4 termes de longitud. Tot i que sembla que amb aquesta profunditat d’anàlisi ja n’hi ha suficient per a la taula 2/n, queda pendent com a ampliació futura ampliar aquest rang d’estudi per determinar si en algun cas es poden obtenir millors resultats.

 Els càlculs s’han dut a terme amb el programa fe_analisi.py i han comportat un temps total de gairebé 40 hores. Tal com veiem al gràfic final, el temps de càlcul creix en progressió geomètrica: per obtenir les dades de la fracció 2/17 només es triguen 5 segons, mentre que el darrer valor, 2/101 va necessitar 4 hores i un quart. A la següent captura de pantalla veiem com el programa ens aporta abundant informació sobre el global dels desenvolupaments possibles, així com els valors òptims, que mostren la seva estructura interna per tal d’ajudar a detectar regularitats en els resultats.

Els resultats obtinguts aporten molta informació a l’hora d’avaluar la dificultat d’obtenir valors òptims en els desenvolupaments presents al papir, i que suposem que són resultat d’un procés experimental de prova que va comportar diversos segles. També posen de manifest diverses regularitats aprofitades pels escribes que resolen alguns casos de manera satisfactòria, però no òptima, per tal d’evitar un estudi més exhaustiu i prolix que els podia comportar mesos o anys de càlcul. Els patrons matemàtics trobats mitjançant l’aplicació repetida dels càlculs es va concretar en taules com les del papir Rhind o el Rull de Cuiro.

Tal com detalla Gillings (1982:49) en analitzar els criteris de selecció de la descomposició en fraccions egípcies, a la taula del papir Rhind s’intenta desplegar les fraccions de numerador 2 en el mínim nombre de termes possible, cosa que no sempre s’aconsegueix de manera òptima, amb els denominadors mínims i, preferentment, parells. El denominador màxim que hi trobem és 890, corresponent al desenvolupament  2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890, cosa que fa pensar que es devia prendre 1000 com a límit.

 Com a resum de les taules detallades més avall mostrarem la següent llista que les resumeix i compara els valors presents al papir Rhind amb els òptims obtinguts per mitjans informàtics. A la part dreta de la relació hi hem inclòs la descomposició en factors primers dels denominadors dels desenvolupaments objecte d’estudi. Tal com veurem a continuació, la complexitat interna dels nombres a analitzar és determinant a l’hora d’interpretar els resultats. 

Resultats tabulats de la recerca

1. Temps de càlcul, desenvolupament Rhind  i algoritme voraç

2. Resultats expressats en fraccions de 2 termes 

3. Resultats expressats en fraccions de 3 termes  

4. Resultats expressats en fraccions de 4 termes